面對現代資訊、金融社會各式各樣的數字轟炸，能夠運用數學思維和資訊統計工具，以簡馭繁、排除雜訊、擺脫偏見，從數據中獲得洞見，這才是各行各業的社會菁英，都應當具備的數學素養。本篇只介紹「稀有資訊價值高」。
2020年2月23日，美國的CBS新聞發布了一項有趣的民調結果。這次調查並未詢問選民秋季的總統大選會投給誰，而是請他們預測哪位候選人會勝選。雖然這只是一個簡單的機率評估問題，但兩黨支持者的預測卻截然不同。
90%的共和黨支持者認為川普「必定或很有可能」連任，但僅有三分之一的民主黨支持者持同相的觀點。為什麼會有如此巨大的差異呢？這正是同溫層的一個絕佳例子。例如，如果你在臉書上看到很多朋友都發文支持川普，那你有可能因而評估川普會勝出。
所以，若是同溫層效應導致選民確信選舉結果必定出了錯，就可能帶來許多危機。因此，瞭解人們接收到關於世界狀態錯誤資訊的問題如何產生，就顯得格外重要。
這樣看來，我們所說的資訊到底是什麼？要如何量化資訊呢？這就要追溯到天才向農(Claude Shannon)的研究，向農在1948年發表的論文，就建構起全新的研究領域——資訊理論。
向農利用「熵值」量化不確定性的方法，扮演了關鍵角色。然而，「熵值」還有更多特性，對於瞭解世界來說十分重要。其中一個重點在於，「熵值」它告訴我們收到訊息時的意外程度，這也對應到閱讀訊息時可以額外得知多少資訊。
例如，相較於得知一連串丟偏差硬幣的結果「正正正正正正正正正反正正正正……」，得知丟公平硬幣的結果「正反反正反正反反……正正」，能夠獲得更多原本不知道的資訊。基本上，我們早就知道丟偏差硬幣大部分的結果都會出現正面，因此大部分接收到的資訊我們早已了然於胸。
另一種思考方式是：我們從稀有事件得到的資訊，遠超過從常見事件得到的資訊。1938年活捉到腔棘魚的漁夫（腔棘魚是一種公認早已滅絕的魚類，僅有透過化石研究而得的資訊），改變我們對這世界的認知程度，遠遠超過昨天在北海抓到鯡魚的漁夫。
雖然正如同字面上的定義，稀有事件無法像常見事件一樣經常發生，但每當稀有事件發生時，相對就能獲得非常多的資訊。
向農還指出，在所有條件相同下，兩則真正獨立的連續資料，能提供我們最多資訊。假設其中一則資料含有1位元資訊，而另一則資料也含有1位元資訊。如果兩則資料獨立，則總共能獲得2位元資訊。但如果兩則資料並非獨立，例如，來自相同地區連續兩天的資料，由於其中部分資訊「重疊」了。因此整體來說，得到的資訊量會小於2位元，整體資訊量小於個別資訊量加總。
也就是說，獨立資料的資訊位元可以直接加總，因此獨立資料能提供最大資訊量。另一種思考方式為：如果資料之間並非獨立，得知第一個資料點後，相較於完全獨立的資料，從第二個資料點中得到的額外資訊會更少。某些會讓我們意外的資訊已經不復存在。
向農的不確定性與資訊等相關數學公式，另一個能幫助我們的地方，就是提出了接收媒體資訊的某些原則。許多人都已經意識到同溫層十分危險，同溫層指的是一群擁有類似想法的人，藉由互相交流意見，更進一步強化彼此的信念。
當然，上述原則一般來說，也能應用在資訊來源的選擇。如果希望閱讀的內容能夠吸收到最多資訊，向農告訴大家，點開已經十分熟悉、完全知道內容會提到什麼的專欄作家文章，根本毫無意義。這些文章的熵值接近零，而大家也幾乎無法從中得到更多資訊。
在推特上選擇追蹤對象的狀況也相同，大家可以想想看，追蹤一位觀點從未改變，或者和你大部分追蹤對象的觀點都相同的人，有可能得到新資訊嗎？從向農資訊理論的觀點來看，這個追蹤對象身上，基本上幾乎擠不出新資訊。
反之，我們應該尋找能提供有意義新資訊的專家來追蹤。這並不代表這些專家說的永遠正確，幾乎沒人敢聲稱自己從不犯錯，但如果我們可以找到一群彼此的思考方式真正獨立、並且經常能提供專業知識和正確見解的專家，就有很大機會接觸到原本不會注意的更多意見和觀點。
只要大家有一定的判斷力，就能夠釐清這些觀點，並決定在目前的狀況下，哪位專家的觀點最為正確。設想看看，一組並未做出真正獨立猜測的群眾，情況有什麼不同？如同在一組100人的群眾中，有99人的意見都以特定專家的觀點為依據，則這100人的加權平均，很可能會十分接近那位專家的觀點。
因此，若接收到的媒體推播過度集中於單一人士或特定群體的觀點，往往會對新聞做出過度反應，而狹膉的觀點也更容易造成誤解或扭曲。此外，如果簡略根據在媒體推播中，看到特定意見出現的次數，來衡量這些意見表面上的熱門程度，也很容易會對社群媒體以外的世界如看待議題，產生偏差觀點。
雖然以上所說的，可能只是真實狀況的簡略模型，但很值得大家思考看看，是否為自己營造了過度受到少數人觀點影響的社群媒體推播環境，或者真正接觸了多元化意見。當然，向農這麼一個特立獨行的人已經告訴我們，嘗試獨立思考、或在做出決定前盡可能聆聽更多人的想法，確實有益無害。
結語
投資人在選股上，什麼樣的資訊對你來說，反而更具價值呢？從向農的資訊理論可得知：你原本就不瞭解的資訊（跳出同溫層），而且大多數人也不知道的資訊（冷門）。
所以，在我的投資研討會上，為了防止同溫層效應（選股的資訊都集中在某個專家），我特別規劃請學員也推薦一支個人的私藏股。
例如，2021年的投資課堂上，有位學員推薦了（我也不知道的）個股正淩(8147)，當時股價才48.95元。於是隔年（2022年）我就納入資料追蹤，目前股價已經來到123.5元(2024-4-9)。
還有，去年（2023年）有位學員推薦了鈊象(3293)，我就特別提醒，這支股票的基本面很賺錢，且「未來一年便宜價」也很高（殖利率超過6.25%）。當時鈊象(3293)的股價為575元。
而鈊象這支個股，原本今年我也要放入資料追蹤，但已被高股息ETF(00940)提早一步的納入成分股了。然而，在今年00940已經過熱的情況下，鈊象目前的股價已經上漲到1,100元(2024-4-9)。所以我就暫不放入資料追蹤了。
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