隨機散佈資料的評估（社會菁英必備的數學素養）

面對現代資訊、金融社會各式各樣的數字轟炸，能夠運用數學思維和資訊統計工具，以簡馭繁、排除雜訊、擺脫偏見，從數據中獲得洞見，這才是各行各業的社會菁英，都應當具備的數學素養。本篇只介紹「隨機散佈資料的評估」。

想像你繼承了1,000英鎊的遺產，想要讓這筆錢變得更大。你可能會選擇投資股市，希望找到績優股低買高賣；你也可能選擇下注運彩，或許你支持的球隊正在和地主隊比賽，又或許有一匹賽馬的名子很有趣；或者你比較喜歡純粹遊戲，在賭場中將遺產全部押注在輪盤、骰子或紙牌遊戲上。

坦白說，以上三種方法都無法像存錢在固定利率的儲蓄帳戶般，能保證增加財富，因為三種方法皆涉及程度各異的隨機性。大家應該都清楚明白，許多賭場遊戲都是純機率遊戲，本質上完全無法預測。

我們先來討論股票市場，股市的行為似乎完全無法預測。從理論層面來看，股價行為隨機到何種程度，依然頗具爭論。有些證券的價格較容易確定，如追蹤特定指數的基金，投信會利用發行量控制市場供需，讓基金價格符合特定指數的基金。

然而，有些證券的價格基本上無法預測，例如某個股市大亨可能出於未知原因的個人喜好，決定買賣特定股票而造成股價漲跌。當然，如果有人真能預測股價變化，就能夠獲得巨大財富，似乎還找不到任何人，能夠完美預測短期的市場走向。

關於機率的評估很類似「大數法則」，它告訴我們，如果不斷重複結果獨立實驗，則特定結果出現的次數比例，會愈來愈接近該結果理論上應當出現的機率。例如，如果丟了許多硬幣，我們可以期望不約一半的硬幣會丟出正面。

另外，大數法則透露了「平均」的直觀概念，也就是告訴我們如果重複實驗愈多次，實驗結果的數值就會愈集中。例如，一個骰子的平均值為(1＋2＋3＋4＋5＋6)／6＝3.5，因為它1到6的數字，出現的機率皆一樣，這表示，若你丟骰子10次，其總數有很高的機率會接近3.5×10＝35。

接著，若我自己試丟一下，結果為：1、5、3、2、2、6、1、4、6、1，總點數為31。也就是說，十顆骰子的總點數最可能出現在30到40之間（靠近35），也就是樣本平均數落在3和4之間（靠近3.5）。

事實上，這樣的結果在眾多獨立實驗都成立。各種實驗都能夠找到某個「期望值）。一般來說，大數法則認為：無論是哪種重複實驗，結果的樣本平均數都很可能會十分接近期望值。因此，擲骰子的期望值為(1＋2＋3＋4＋5＋6)／6＝3.5。丟硬幣的期望值為(0＋1)／2＝0.5。

但是，結果並非隨機的話，計算期望值的方法就比較難了，需要乘上各自出現機率的權重。例如，假設丟的是偏差硬幣，2/3的機率丟出一正面，1/3的機率丟出反面，則丟出正面的期望值為(2/3×1)＋(1/3×0)＝2/3。

請注意，「期望」這個說法有些奇怪。例如，擲骰子，由於數子只有整數點，所以永遠丟不出3.5這個結果。因此，實際上根本無法期望能看到這個期望值出現。我們應該將期望值視為在重複足夠多次下長期結果平均值。

而不同的實驗也可能得到相同的期望值。例如，如果丟一枚公平硬幣，一面寫著3，另一面寫著4，則期望值為(3＋4)／2＝3.5，與擲骰子相同。但很明顯的，擲骰子結果的數值分布，會比丟硬幣的結果更分散。如下圖：

大數法則告訴我們，如果重複一個實驗足夠多次，樣本平均數就會接近期望值。另一個原則是「中央極限定理」：樣本平均數出現特定值的機率分布，都會接近常態分布（如上圖）。然而，資料數據也可能會產生其他曲線，不假思索就採用中央極限定理，很可能會錯誤解讀資料數據。

其中，另一個可能造成誤解的原因，就是鐘型曲線的對稱性。但並非所有資料都具備這種對稱性，瞭解資料的期望值（平均數）和中位數可能差異甚大，也十分重要。例如，英國的家庭所得分布一點也不對稱，曲線峰值偏左邊，平均數也高於中位數，因為一小部分高所得族群拉高了平均數。

中央極限定理明確告訴我們一點，低變異數實驗會產生集中的結果（較窄的鐘型曲線），而高變異數實驗則會產生較不確定的結果（較寬的鐘型曲線）。

不該低估極端事件發生率

金融市場模型的基礎版本，是假設股價波動為常態分布，然而每天的股價波動，有可能遠遠超出基礎模型的預測。事實上，將現實狀況錯誤假設為常態分布，曾經在2007年8月金融危機時，將我們引入歧途。

因此，瞭解一組資料的極端屬性與瞭解中心和散布，同等重要。採用標準但錯誤的模型假設，會讓我們對金融市場崩潰發生的極端值出現機率，產生錯誤的安全感。

結語

從本篇文章的觀點，在機率上，我們買進個股的價位，最好愈靠近「期望值」區間愈好。而在個股「期望值」區間的評估，可以參考我課程上所教的「便宜價」和「合理成長價」。如下圖：

例如，2021年我買中興電(1513)的價位為48.3元，就是在這區間當中。而前年（2022年）我買的漢科(3402)，價位為46.5元，是更低於「便宜價」。但以今年股市大多頭的情況下，若想找出股價低於「便宜價」的個股，機率大大降低了。

另外，散戶（韭菜）最喜歡問的一個問題就是：某某飆股（已超漲的股票），還會再漲嗎？

但許多人並不明白，這其實也是機率的問題。就像一個連續都丟出6點的骰子，被問道：接下來會再繼續丟出6點嗎？若專家（名嘴）回答：會再漲。答案也並沒錯，只是機率並不高。

其實，反而應該擔心的是（若瞭解機率分布的話），追高後，骰子擲出的卻是1點該怎麼辦？就像昨天(2024-04-16)台股單日突然大跌547點一樣。

所以，有些讀者推薦的個股，我沒收。並不是其基本面不好，而是股價已經被炒過頭，機率已不站在我們這邊了。

然而，須注意的一點是：個股的「便宜價」和「合理成長價」之間的區間，並不是固定不變。每年都會應基本面的變化，而不同。

總而言之，最好找的個股是：股價落在「期望值」區間內，且該個股的「期望值」區間，每年都往右移（愈變愈高）。但這需要靠質化分析，而我在投資研討會上，會教各位我的分析技巧。

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